lunes, 23 de mayo de 2016

La extraña tribu que procedía en contra de la lógica y la paradoja de Hardy #Cuentos Cuánticos #noticias


En su obra Kinship and the local community among the Socitnauc, el antropólogo inglés Sir Edward Evan Evans-Pritchard narra las peripecias que vivió durante sus trabajos de campo en 1927 entre los miembros de la tribu de los Socitnauc. De entre todos los aspectos de la vida de esta comunidad estudiados por el antropólogo, fundamentalmente sobre su sistema social y de parentesco, me ha llamado la atención un episodio vivido al final del verano de ese año, cuando los chamanes de la tribu sacaron de la gran cabaña que usaban como almacén un objeto litúrgico que, al parecer, iba a jugar un importante papel en los rituales del equinoccio otoñal. Se trataba de una caja de metal, que encerraba un dispositivo eléctrico industrial, con inscripciones en alemán, que, afirmaban, provenía de las entrañas de un gran pájaro y que Evans-Pritchard identificó como procedente de los restos de un avión que se había estrellado años atrás en la zona. El caso es que el dispositivo tenía una batería que todavía funcionaba, y tenía una serie bombillas que, al azar, a veces lucían, y a veces no, dispuestas como indica el siguiente esquema:

esquema

El dispositivo era interactivo, ya que tenía un par de palancas (que llamaremos P+ y P-). Cuando la palanca P+ estaba en modo "on", la bombilla u+ quedaba tapada por un material opaco, de tal forma que no se puede ver si luce o no. Análogamente, cuando la palanca P- estaba en modo "on", la bombilla u- quedaba tapada por un material opaco, de tal forma que no se puede ver si luce o no

Era tal la fascinación de los Socitnauc por el dispositivo que hasta habían encontrado una serie de regularidades que se cumplían siempre en el aparato.  Pero antes de entrar en ellas tal vez sea mejor aclarar algunos de los símbolos que vamos a emplear en lo que sigue:

  • donde "¬" es la negación "no""
  • ˄" es la conjunción "y",
  • "˅" es la disyunción "o"
  • "p→q" es la implicación material, que nos dice que, o bien no se cumple p, o bien se cumple q,
  • la ley de De Morgan nos dice que de la negación de p˄q se sigue que al menos una de las dos proposiciones ha de ser falsa
  • y el silogismo condicional nos dice que si p→q y al mismo tiempo q→r, entonces p→r.

Con esto en mente podemos adentrarnos en las regularidades que los Socitnauc habían encontrado en su aparato:

  • Siempre que observamos la bombilla u-, para ver si está encendida o no, y obtenemos que no está encendida, entonces es imposible que d+ lo esté. Es decir:

¬u- → ¬d+

o, lo que es lo mismo

d+ → u-

  • Hay una total simetría en las leyes del aparato si intercambiamos + y -. Es decir, siempre que observamos la bombilla u+, para ver si está encendida o no, y obtenemos que no está encendida, entonces es imposible que d- lo esté. Es decir:

¬u+ → ¬d-

o, lo que es lo mismo

d- → u+

  • Nunca jamás se observa que u+ y u- se enciendan simultáneamente.

Aunque Evans-Pritchard conocía el problema de la inducción, y sabía que hay que tener cuidado a la hora de generalizar a leyes las regularidades que se observan, eran tales esas regularidades observadas que él mismo admitió que el aparato estaba diseñado para que se cumplieran escrupulosamente esas leyes. De hecho, el célebre antropólogo fue capaz de deducir lógicamente, a partir de esas leyes, otras que se siguen necesariamente de las primeras.

Por ejemplo, si d+ y d- se encendiesen simultáneamente, entonces, como se ha encendido d+, se tiene que haber encendido también u- y, como se ha encendido d-, se tiene que haber encendido u+. Pero u+ y u- no se pueden encender simultáneamente, luego, aplicando el método de reducción al absurdo, la premisa es falsa, es decir, nunca jamás va a ocurrir que d+ y d- se enciendan simultáneamente.

El lector que quiera ver desglosada la inferencia lógica completa que hizo el antropólogo, sin necesidad de recurrir a la reducción al absurdo, para asegurarse de que no hay ningún error en la misma, puede analizar el siguiente esquema, realizado por una alumna mía, Fátima González, como parte de su proyecto de investigación del Bachillerato de Excelencia del IES San Mateo de Madrid:

inferencia

Interesado en saber hasta qué punto la forma de pensar de los Socitnauc era racional, a pesar de sus mitos e historias que, a ojos de un occidental, no tenían sentido, Evans-Pritchard explicó a los chamanes de la tribu su razonamiento lógico. El resultado fue una gran decepción, ya que éstos eran incapaces de aceptar la evidencia y se empeñaron en decirle que así no es como hay que pensar. Y es que resulta que los Socitnauc son incapaces de aceptar una inferencia lógica tan simple, ya que entre sus creencias, se encontraba que sí que es posible que d+ y d- se puedan encender simultáneamente.

Cualquier otro antropólogo de su época habría anotado en su cuaderno que este pueblo primitivo posee una forma irracional de pensar y de concebir el mundo. Sin embargo, Evans-Pritchard decidió profundizar más en este asunto, ya que estaba convencido de que el principal problema con el que se enfrentan los antropólogos es el de la traducción, es decir, encontrar la forma de traducir los propios pensamientos frente al mundo de otra cultura y así intentar entenderla, y luego volver a traducir lo que se haya comprendido para poder explicarlo al mundo occidental.

Tras pasar varios días haciendo todo lo que hacían los chamanes y participar en sus rituales, en los que estos individuos parecían evadirse completamente del mundo, tomando con ellos regularmente una sustancia marrón de fuerte olor que les mantenía inmersos en la actividad religiosa, pudo comprobar que, durante los largos periodos de trance, uno se olvida de los instintos naturales más básicos, como alimentarse, y muestra interés nulo por los individuos del sexo contrario, incluso aunque intenten llamarle la atención con claras insinuaciones sexuales. Inmerso en ese mundo, se dio cuenta de que la forma de "razonar" de esta gente, a pesar de violar las reglas más elementales de la lógica de enunciados, era muy matemática. Ésta consiste en asociar un número complejo a cada uno de los caminos posibles que un par de seres mitológicos, a los que llamaremos "electrón", y "positrón", pueden recorrer antes de accionar la bombilla que anuncia su llegada. Estos números complejos poseen un argumento que coincide con la diferencia de fase que adquiere el ser mitológico por el hecho de ir por determinado camino, como si de una onda se tratase.

Es de gran interés para un antropólogo descubrir que en la cosmovisión de los Socitnauc estos seres mitológicos, electrón y positrón, poseen propiedades realmente extrañas e imposibles de asimilar en nuestros esquemas de pensamiento occidentales: ni el electrón ni el positrón, en su movimiento, siguen una trayectoria bien definida. Ojo, no es que no se sepa qué trayectoria es la que siguen, es que la trayectoria no existe como concepto en la cultura de esta tribu. Por eso, en su proceder, lo chamanes suman para todas las trayectorias posibles.

Ciertamente, ningún occidental con dos dedos de frente aceptaría semejante forma de proceder. La investigación científica, tal y como la describe el gran filósofo de la ciencia y azote de las pseudociencias, Karl Popper, empieza tomando conciencia de que existe un problema y debe continuar resolviéndolo, mediante el proceso de elaboración de hipótesis y de ejecución de experimentos que contrasten esas hipótesis. Sin embargo, los Socitnauc se niegan por principio a encarar el problema de averiguar cuál es la trayectoria que realmente ha seguido el electrón porque niegan la existencia de ninguna trayectoria. Es decir, en vez de resolver el problema, lo disuelven y lo eliminan del dominio de la investigación genuina.

Lo más sorprendente de todo es que, cuando los miembros más influyentes de la tribu aceptaron a Evans-Printchard como a uno de los suyos, le dejaron jugar durante un tiempo con el aparato, y pudo comprobar experimentalmente que ¡los Socitnauc estaban en lo cierto! Un 6,25% de las veces que se hacía el experimento con las palancas P+ y P- en modo "on", es decir, tapando las bombillas u+ y u- para que no se sepa si lucen o no, ocurría que las luces d+ y d- se encendían simultáneamente. Es como si este aparato lo hubiese construido el mismísimo diablo. ¿Cómo era posible que ocurriese esto si era lógicamente imposible?

Supongo que, desde el principio, te habrás dado cuenta, querido lector, de que no estoy diciendo la verdad. La obra Kinship and the local community among the Socitnauc no existe, aunque es muy probable que Sir Edward Evan Evans-Pritchard se haya encontrado en su vida varias veces con miembros de la tribu de los Socitnauc. A lo mejor tú también. Sólo tienes que leer el nombre al revés para comprobarlo. La historia narrada en este artículo no es real. Es sólo un cuento. Un cuento "cuántico".

Hoy en día sabemos que este dispositivo tan apasionante se denomina dispositivo de Hardy. Si se descubre que en 1927 alguien ya lo tenía en su poder, Iker Jiménez tendría programa asegurado, ya que este dispositivo fue propuesto en 1992 por el físico teórico Lucien Hardy ("Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states". Physical Review Letters 71 (11)) con el objetivo de mostrar cómo la mecánica cuántica aparentemente viola las leyes de la lógica, y de proporcionar otro posible test experimental para esta teoría, frente a la alternativa de las variables ocultas locales. De momento, se trata sólo de un experimento mental, aunque ya se han ensayado dispositivos similares con fotones. No obstante, estamos convencidos de que, al igual que hemos podido llevar a cabo los famosos experimentos mentales de EPR y las desigualdades de Bell, algún día podremos hacer también el experimento tal y como lo describió Hardy en un laboratorio de este mundo, en vez de en el mundo de las ideas, y comprobar que, al igual que ha ocurrido ya con la constatación experimental de las desigualdades de Bell, la naturaleza se comporta exactamente como predice la mecánica cuántica, y no como predicen las teorías de variables ocultas locales.

hardy

El experimento consiste en lanzar simultáneamente un electrón (-) y un positrón (+) hacia sendos beam splitters (BS), que son dispositivos que el 50% de las veces hacen que la partícula salga rebotada, y el otro 50% dejan pasar a la partícula. Esto hace que tanto electrón como positrón puedan seguir dos caminos posibles (v+ y w+ en el caso del positrón). Si ambos acaban por el camino w, entonces se aniquilarán en el punto P, emitiendo radiación electromagnética, de tal forma que es imposible que ambos lleguen simultáneamente a los detectores puestos en los caminos u+ y u- (tercera premisa de la inferencia lógica del antropólogo). No obstante, si el electrón acaba viajando por el canal v-, entonces sí que el positrón puede acabar en el detector u+. Por otro lado, si la palanca P+ está en modo "on", entonces el detector en el camino u+ es retirado, con lo que el positrón que pase por ahí acabará llegando al segundo beam splitter, y lo mismo para el electrón si cambiamos + por -.

Si tenemos la palanca P+ en modo "on" y la P- en modo "off", es decir, ponemos un detector en u-, pero no en u+, entonces, la regla mecanocuántica de la suma de caminos de Feynman nos dice que la probabilidad de que las bombillas d+ y d- se enciendan simultáneamente es el módulo al cuadrado de la amplitud de probabilidad, y que esta amplitud de probabilidad se obtiene sumando un número complejo por cada uno de los dos caminos posibles (v+ y w+) que ha seguido el positrón. En cambio, sólo hay un camino posible para el electrón, ya que, si el electrón ha llegado a d-, es seguro que ha viajado por el camino v-, porque, si no, se habría encontrado con el detector u-:

formula1

Luego la probabilidad es P(d+d-)=0, en consonancia con lo que espera el antropólogo del cuento. Nótese que hemos dividido entre la raíz cuadrada de dos cada vez que electrón o positrón se encuentran con un beam splitter, y que las dos fases introducidas para el positrón (de rojo) se deben a que en el camino w+ se producen dos reflexiones, y en cada reflexión la fase cambia en pi/2 radianes. Este desfase es justo el que hace que la suma de los dos números complejos dé cero. Se dice en ese caso que hay una interferencia destructiva entre los dos caminos posibles para el positrón.

Dejamos para el lector activo el cálculo de P(d+c-). Si ha hecho usted bien la cuenta, verá que también sale cero.

Por tanto, siempre que se detecte el positrón en d+, el electrón no se detectará ni en c- ni en d-, es decir, se detectará necesariamente en u-, como dice la primera premisa de la inferencia lógica del antropólogo.

Análogamente, como el dispositivo tiene simetría izquierda-derecha, siempre que cambiemos + por – también se concluye que siempre que se ponga un detector en u+ y que se detecte el electrón en d-, necesariamente el positrón deberá detectarse en u+, como dice la segunda premisa.

Por otro lado, si tenemos las palancas P+ y P- en modo "on", es decir, retiramos los detectores u+ y u-, entonces son tres los posibles caminos que nos llevan a que el electrón acabe en d- y el positrón simultáneamente en d+:

  • que el positrón vaya por v+ y el electrón por v-
  • que el positrón vaya por w+ y el electrón por v-
  • que el positrón vaya por v+ y el electrón por w-
  • la cuarta posibilidad, que el positrón vaya por w+ y el electrón por w-, queda descartada porque entonces se aniquilarían en el punto P, con lo que no llegarían a d+ y d-.

Y, si hacemos la suma de caminos de Feynman, sale:

formula2

Y, por tanto, la probabilidad es P(d+d-)=1/16. ¡No es nula!, violando así la conclusión del antropólogo.

Es muy importante señalar que las leyes de la lógica se violan en este experimento sólo aparentemente ya que, si indagamos en la forma de pensar de los Socitnauc, nos daremos cuenta de que ellos no tienen una concepción realista de la naturaleza, ya que piensan que las magnitudes físicas no tienen por qué tener siempre un valor bien definido hasta que no son medidas. Así, por ejemplo, si hemos detectado al electrón en el detector d-, eso significa que el electrón ha llegado hasta allí, pero en su movimiento hasta ese detector, si no hay detector en u- obstaculizando el paso, no está la propiedad de haber pasado ni por el camino v- ni por u-, es decir, la propiedad u- no toma el valor ni "verdadera" ni "falsa", sino que no está bien definida. Sin embargo, la inferencia lógica que lleva a cabo el antropólogo en nuestro cuento es una inferencia de la lógica de enunciados, en la que se supone implícitamente el principio del tercero excluso: u- o bien es verdadera o bien es falsa.

Este es el motivo por el que en 1936 Garrett Birkhoff y John von Neumann ("The Logic of Quantum Mechanics". Ann. Math. 37 (4)) fundaron la lógica cuántica, un conjunto de reglas de inferencia establecidas para reconciliar la aparente inconsistencia entre la lógica de enunciados y los resultados de las mediciones de variables complementarias, como la posición y la cantidad de movimiento, o como u- y d-. La lógica cuántica tiene algunas propiedades que claramente la distinguen de la lógica proposicional usual, entre las que destaca la violación de la propiedad distributiva:

p ߍ (q v r)

no es equivalente a

(p ߍ q) v (p ߍ r)

No obstante, aunque a lógica cuántica es un conjunto matemáticamente consistente de axiomas y de definiciones inspirado en la mecánica cuántica, los físicos no necesitamos utilizar la lógica cuántica para hacer inferencias cuando trabajamos con la mecánica cuántica y esta lógica ampliada no ha aportado hasta ahora nada a la física (http://motls.blogspot.com.es/2015/07/boolean-logic-is-sufficient-to-work.html). Esto es así porque, una vez que las magnitudes físicas u-, d-, etc., han sido medidas, que es cuando su valor adquiere existencia real, quedan perfectamente establecidos los valores de verdad de estas magnitudes, y estos valores de verdad se comportan exactamente como indica la lógica de enunciados de toda la vida. Sólo hay que tener cuidado de no cometer el error ontológico de asignar existencia real al valor de magnitudes que no se han medido, que es el error que comete el antropólogo en nuestro cuento. Es decir, no podemos asignar a u- ni el valor verdadero ni el falso si no hemos puesto detector en ese camino. Por tanto, no hay que alarmarse, ya que el resultado del experimento de Hardy, suponiendo que se lleve a cabo y que salga lo que predice la mecánica cuántica, no nos obliga a abandonar la lógica de enunciados, sino el realismo.

Por este motivo, no es cierta la tesis de Paul Feyerabend (Against Method: Outline of an Anarchist Theory of Knowledge) de que los físicos hemos abandonado la lógica proposicional, ni de que en la mecánica cuántica "tal y como es puesta en práctica actual y realmente por los físicos" (citando palabras textuales suyas) se haya abandonado la propiedad distributiva. Tampoco es cierta, por tanto, la posibilidad que plantea Alan Chalmers (Science and Its Fabrication) de que "la violación de algunos principio lógicos clásicos" en mecánica cuántica podría ser una buena razón de que tenemos que cambiar nuestras forma lógica de pensar, ni que este hecho constituye un ejemplo de un cambio radical en las normas de la Física que nos indica que no existe un método científico universal y ahistórico. Aunque, claro está, esta última conclusión de Chalmers sigue intacta ya que ¿qué es el abandono del realismo sino un cambio radical en las normas de hacer Física que tuvo lugar en 1927?

Para terminar, me gustaría dedicar este artículo a Ana Robles, profesora de Filosofía en el Instituto Fidiana de Córdoba. Ella hizo por mí lo más importante que puede hacer un profesor por sus alumnos: contagiar su amor por el conocimiento. Las sesiones que dedicamos en sus clases de 3º de BUP a estudiar parte de la obra de Evans-Pritchard me han ayudado desde entonces a intentar, a veces con más éxito y otras con menos, meterme en el mundo de los que no piensan como yo o pertenecen a otra cultura, para tratar de comprenderlos, en vez de buscar el conflicto permanente cada vez que me encuentro con la "irracionalidad" evidente de los demás. Este ejercicio mental no implica, como algunos se piensan, ceder a las pretensiones del adversario ideológico, ni tampoco, como otros denuncian, situarte en la falsa equidistancia en los conflictos. Al contrario, ayuda muchísimo a poder acercar posturas con los demás, a vivir en democracia y a conseguir que el resto te comprenda mucho mejor, dando así más popularidad a tus ideas. La divulgación de la ciencia y el peso en la sociedad y en la política de su forma de proceder ganaría fuerza si todos practicáramos más esta estrategia.

Sobre el autor: Sergio Montañez es doctor en Física Teórica por la Universidad Autónoma de Madrid, profesor de secundaria en el IES San Mateo de Madrid y fundador de Divulgamadrid.


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