sábado, 24 de septiembre de 2016

Pasatiempo Veraniego (en Otoño), al límite del conocimiento IV: Por mis huevos toreros, que el estudiante toma el autobús. #e-ciencia #noticias


superdibujo3
Si hay algo que mata la creatividad, la machaca, la patea vilmente, la aplasta con sus botas de hierro retorciéndola en los lodos de la desesperanza, y además se refocila de sustraerte la dignidad y los sueños, es el trabajo, el maldito trabajo que tanto necesitamos y que debemos de estar agradecidos de tener, y si hay algo que la termina de rematar, son las obligaciones familiares.
Mi humilde, pero hasta ahora "pasatiempo veraniego al límite del conocimiento", que publicaba en agosto, se ha visto pues, retrasado, si bien, éste es interesante de verdad, os lo prometo, yo mismo me lo he pasado bomba componiéndolo.

Existe un problema de física de secundaria, un clásico, respecto a un estudiante que quiere coger, tomar, alcanzar el autobús, la guagua, la micro, el colectivo.

El estudiante, tal cual podemos ver en el mi super dibujo (1.1), y también de forma esquemática en la figura (1.2) (robada con premeditación, alevosía y sin ningún remordimiento de users.ipfw.edu ) corre a velocidad constante hacia el autobús.

1.1 El intrépido estudiante quiere alcanzar el autobús

1.1 El intrépido estudiante quiere alcanzar el autobús

En el momento en que nuestro intrépido estudiante está corriendo a velocidad constante, y se encuentra a una distancia

{x_0}
, el autobusero, que no se ha percatado de los delicados improperios de nuestro héroe, comienza a acelerar. La pregunta del problema es dónde y cuándo (tiempo y espacio) en el que el estudiante alcanzará al autobús, si es que lo alcanza.

Este ejercicio, de física clásica, tan sencillo, tan newtoniano, tan transparente y tontorrón, guarda uno de los misterios actuales más bellos e intrigantes de la física, la realidad de los números complejos en nuestra naturaleza, y su comprensión en las matemáticas. Si no os acordáis de qué era un número complejo o imaginario, ved la nota "A" del final.

Antes de entrar en materia filosófica, vamos a ver en qué momento, en este problema, aparecen los números complejos y porqué.

El problema

Estamos en

t=0
, es decir, tiempo cero, relojes sincronizados; comienzo.

El estudiante va a velocidad constante, es decir,  recorrerá siempre el mismo intervalo de distancia

bigtriangleup x
en el mismo intervalo de tiempo
bigtriangleup t
. La distancia final a la que estará después del intervalo de tiempo es

x=v_ebigtriangleup t

la distancia que recorrerá será la velocidad constante que lleva por el tiempo que transcurra.

Cuando se trata de aceleración, la fórmula que nos da el espacio que recorrerá el autobús en  un intervalo de tiempo es la que sigue:

x=frac{1}{2}a(bigtriangleup t^{2})+v_o^{a}bigtriangleup t+x_{o}

Donde

{a}
es la aceleración del autobús, 
bigtriangleup t el intervalo de tiempo que pase mientras está acelerando,
v_o^{a}
sería la velocidad inicial que pudiera llevar el autobús antes de acelerar, y
{x_{o}}
el espacio que hubiera entre el autobús y el estudiante (pues vamos a tomar al estudiante como el punto cero de nuestro sistema de coordenadas).

 

En nuestro problema, el estudiante parte ya de estar a una velocidad constante en el sitio donde vamos a poner nuestro origen de coordenadas, por otro lado, nuestro autobús está quieto parado (no tiene velocidad inicial) y comienza a acelerar justo cuando el estudiante está en el origen de coordenadas. Por lo tanto, en el momento en que empieza a contar el tiempo, en

{t=0}
, tenemos al estudiante con una velocidad
v_e
y al autobús que empieza a moverse con una aceleración
a
, siendo la distancia en ese instante inicial entre ellos
x_{o}

Nuestras ecuaciones quedan así:

begin{cases} & x=frac{1}{2}a(bigtriangleup t^{2}) + x_{o} \ & x=v_ebigtriangleup t \ end{cases}

Newton aprobaría esto, sí señor.

A partir de ahora, para más comodidad, hablaremos siempre de tiempos finales y espacios finales, por lo que voy a quitarle al tiempo el carácter

bigtriangleup
, y así quedará todo más sencillo de visualizar. Tampoco les pongo a la velocidad o aceleración el signo de vector, también por agilizar la visualización.

Tenemos pues dos ecuaciones que me dan la posición del estudiante y del autobús ,indistintamente, para un determinado tiempo. ¿En qué momento estarán los dos juntos, es decir, en qué momento alcanzará el estudiante al autobús?, pues justamente cuando los dos coincidan en el mismo lugar…o sea, que vamos a igualar las ecuaciones, ya que en las dos, 

{x}
será el mismo lugar (el de encuentro):

frac{1}{2}a(t^{2}) + x_{o} = v_et

Si de aquí , despejamos la t, obtenemos el tiempo en el que se encontrarán. Despejándolo queda:

 

t=frac{v_e}{a}pm frac{sqrt{v_e^{2}-2ax_o}}{a}

 

Pongamos un ejemplillo. Si resultara que el estudiante va a una velocidad

{v_e=6 m/s}
, el autobús arranca con una aceleración de
{a=2 m/s^2}
y entre ellos hubiera una distancia
{x_o=5m}
entonces se encontrarían en
t=frac{6}{2}pmfrac{sqrt{6^{2}-2*2*5}}{2}
, lo que equivale a
t=frac{6}{2}pm frac{sqrt{16}}{2}
y tenemos dos resultados, ya que la raíz tiene dos signos:

{t=1s}
y
{t=5s}

¿Y por qué dos resultados? Pues porque el chico va corriendo, y en

t=1
alcanza el autobús, se planta delante de la puerta del conductor (vamos a suponer que alcanzar el autobús es llegar hasta la puerta), pero él aun va más rápido que le autobús, que prácticamente está empezando a acelerar, así lo sobrepasa, y a los
5
segundos, 
{t=5s}, el autobús se vuelve a poner a su nivel, y ya lo adelanta. Son dos veces las que se encuentran.

Vayamos al lío.

¿Qué ocurre cuando igualo las ecuaciones y despejo el tiempo, pero los datos son tales que ni de coña el estudiante alcanza al autobús?

image022.gif

1.2 Esquema del problema con unos valores para los cuales, el estudiante no alcanzará el autobús

Para aprovechar el gráfico 1.2, utilizaré los mismos datos, los cuales nos sacan del mundo real. Suponemos que el pobre estudiante va a

{v_e=5 m/s}
justo cuando el autobús empieza a acelerar a
{a=2 m/s^2}, estando a una distancia de
{x_o=20m}
; ante estos datos, el tiempo en el que lo va a alcanzar es t=
t=frac{5}{2}pmfrac{sqrt{5^{2}-2*2*20}}{2}
o sea,
t=frac{5}{2}pmfrac{sqrt{-55}}{2}

Una raíz cuadrada negativa, eso implica que hemos obtenido un tiempo complejo:

t=frac{5}{2}pmfrac{sqrt{55}}{2}bf{i}
(Ved nota A)

Ante este resultado, lo que se nos dice en los problemas de física de esta índole, es que el chaval no alcanzará el autobús. Y es cierto, lo que observaríamos sería como el autobús se va alejando y el estudiante se va quedando atrás, pero sea como fuere las matemáticas nos han devuelto un valor; no han devuelto una indeterminación, ni un infinito, ni colapsa el papel en una perturbación espacio temporal cuando igualamos las ecuaciones con unos datos tal que sus gráficas no se cortarán jamás...y sin embargo tenemos un resultado. Veamos la gráfica primero, la gráfica 1.3.

1.3 La recta pertenece al estudiante x=5*t, y la curva al autobús x=t^2 + 20

1.3 La recta pertenece al estudiante x=5*t, y la curva al autobús x=t^2 + 20

 

La curva pertenece al movimiento del autobús con respecto al tiempo, y la recta al del estudiante. En realidad los dos se mueven de forma rectilínea en el espacio, en la carretera, pero si graficamos su movimiento, tal que el tiempo es el eje vertical y el espacio el horizontal, obtenemos una recta para aquello que se mueva a velocidad constante, y una curva para aquello que lleva aceleración, pues va variando el espacio con el tiempo en este segundo caso, y sin embargo en el movimiento constante, la razón entre el tiempo y el espacio siempre es la misma.

Fijaros como la curva y la recta se alejan una de otra; no se van a cortar para ningún valor del tiempo y espacio, ese corte sería justo el tiempo-espacio donde iban a coincidir, pero eso no va a ocurrir... si al menos fueran paralelas podríamos decir que se juntaran en el infinito, y de hecho eso ocurre en un ejemplo que ahora os daré... pero es que ni eso, se alejan estrepitosamente...entonces ¿donde leches está ese punto complejo donde se van a cortar?, ¿cual es ese tiempo misterioso donde el autobús y estudiante se encontrarán?

Utilizando este tiempo misterioso, veamos donde se encontrarían. Como el espacio donde estará el estudiante en un intervalo de tiempo es 

x=v_e t
, y como se supone que será el mismo que el autobús, podemos sustituir ahí el tiempo que hemos obtenido
x=5*(frac{5}{2}pmfrac{sqrt{55}}{2}bf{i})
  Fenomenal, ahí se van a encontrar, un sitio fantástico; el estudiante le dirá "Estarás contento, ¿no?, desgraciado, mira a dónde hemos ido a parar por no querer cogerme, ahora a ver quien trata con estos tíos imaginarios que vienen hacia acá."

Obviamente ese lugar donde han de cortarse las ecuaciones no está en la gráfica 1.3, no está en el plano real; un matemático nos dirá que nos vayamos al plano complejo, el problema es que representar el tiempo y el espacio en el plano complejo no se puede, simple y llanamente porque necesitaríamos poder ver cuatro dimensiones, cosa que nuestra naturaleza no nos lo permite. Y además, para más vergüenza, no sabemos ordenar adecuadamente estos números ni compararlos con los reales. El tiempo necesita un eje para la parte imaginaria y otro para la real, y el espacio necesita otros dos ejes igualmente, cuatro en total. Al no ser

i
un número real, o ser nosotros tan cazurros que no podemos entenderlo, no podemos/sabemos sumar
i con otro número que no sea de su misma índole, y así, vamos arrastrando el número
i de un lado al otro.

Pero nosotros no vamos a llevar la gorra de matemático en este pasatiempo, vamos a llevar la gorra de físico; y un físico, cuando está trabajando en estas distancias y en estos intervalos y velocidades pequeñas, se queda en el plano real, a no ser que necesite objetos que porten un módulo y un ángulo (electricidad, ondas...), en donde el plano complejo es una especie de utensilio matemático más que una realidad física, a pesar de que en mecánica cuántica los complejos son una necesidad real y natural y no una artimaña matemática.

Para entender los números complejos, yo encuentro ideal la geometría pseudo euclidea, el espacio-tiempo de Minkowski que se usa en Relatividad Especial; con los números complejos se puede generar esta geometría ("El universo tetradimensional de Minkowski" Sazanov. Ed. Urss) , igual que con los números hipercomplejos unitarios

h^2=1
(manteniendo la conmutatividad a base de tener divisores por cero) (Hipertexto y Birkhauser - The Mathematics of Minkowski Space-Time. With an Introduction to Commutative Hypercomplex Numbers 2008). Cuando observamos un número complejo como un punto en el plano pseudo-euclidio vemos rápidamente la dificultad a la que nos enfrentamos. Tengo en mente hacer un artículo al respecto después de éste.

Vale pues, diréis, entonces, si llevamos la gorra de físico, y nos quedamos en el plano real, y además, la realidad nos dice que el estudiante, ante estos datos, no coge el autobús ¿qué vamos a discutir aquí???,  hacemos como dicen los libros de texto secundaria ¿no?, si el resultado es complejo, no alcanza el autobús y punto...pues no, nooooo, maaaaaaal,  ¡maaaaaal!. Todo resultado matemático, cuando no reproduce las condiciones esperadas, sí nos da la forma en que esto podría suceder, pero cuidado, no me refiero a que podemos ver qué valores debería de llevar para que se encontraran, si no las circunstancias en las que se están encontrando dentro de estos valores (cómo debería de ser el entorno en algunos casos  o cómo es en realidad el entorno, en otros) . Y en este caso el resultado complejo no es una excepción, no está diciendo cómo podrían encontrarse sin necesidad de cambiar los valores, nos está gritando la forma en que podría suceder,  y ese es el reto de este pasatiempo.

graph14

1.4 Los coches cuyas rectas son x=10t y x= 20t+100 se encontraron en el punto (-100,-10)

Un ejemplo; suponed que queremos averiguar donde se encontrarán dos coches que van a velocidad constante por la carretera; uno va detrás del otro y llevan una distancia

x_0 = 100 Km
entre ellos, ahora bien, vamos a suponer un caso en el que no se encontrarán, a saber, el que va adelante va más rápido; en este caso no se obtiene un número complejo, si no negativo, mirad... Coche 1 va a
10 km/h
, coche 2, que va delante, va a
20 Km/h
, ecuación del primer coche
x_1=v_1*t
, del segundo
x_2=v_2* t + x_0
igualamos para saber en qué punto se encuentran
v_1* t = v_2* t + x_0
, despejamos el tiempo
t = frac{x_0}{v_2-v_1}
, con los datos nos da que
t = -10 h
Con la gorra de matemáticos diríamos simplemente que las dos rectas que conforman estas ecuaciones se cortan en (-100,-10) (ved gráfica 1.4), con la gorra de físicos podríamos decir que como es negativo no se van a encontrar y acabar aquí, pero a poco que nos esforcemos un poco más, nos percatamos de que las matemáticas nos están diciendo que de haberse dado las mismas condiciones en el pasado, debieron de encontrarse hace diez horas, cien kilómetros antes. El resultado no solo nos ha dicho que no se encontrarán, nos ha dicho cómo podría suceder.

Una metáfora

Suponed que existen unos seres que no comprenden los números negativos; para ellos esa abstracción no tiene sentido, podemos imaginar que por ejemplo ellos van siempre "para adelante", nunca van marcha atrás y no comprenden ese concepto y su naturaleza no se lo permite. Por necesidades matemáticas, y más tarde físicas, se han topado con unos números realmente extraños, los negativos, así que han definido un número

k=-1
, y lo único que saben de este número es que
k^2=1
; han establecido una estructura de números que llaman negativos de esta forma
x + ybf{k}
donde
x
e
y
son números reales positivos. No saben comparar esos números con los reales positivos, así que han establecido el plano negativo, donde el eje vertical son los
y y el horizontal los
x, sacan su módulo, su argumento, y hasta cierto sentido, son conscientes de que esta dimensión del plano es una mera necesidad.

A veces a más de un matemático se le ilumina la mente y piensa ¿y si

k
fuera menor que cero? entonces escribe
k<0
, y para comprobar la veracidad multiplica los dos lados por
k y obtiene
1<0
, lo cual es un absurdo, y desiste de la idea, no sabe, ni descubrirá en su puñetera vida,  que si
k es menor que cero, al multiplicar los dos lados, debe de darle la vuelta al signo comparador, pero aun en el caso de que se la juegue y  haga caso omiso de las risas de los otros matemáticos, y coloque los números
yk
ordenados detrás del cero, cuando se pregunte "¿dónde va por ejemplo
21 + 61k
? le petará la cabeza.

¿A que dan pena? Pues nosotros damos igual de pena con los complejos. Haced el siguiente ejercicio, mirad, la única forma de poner

bf{i}
y
-bf{i}
en la recta real es suponer todas estas barbaridades: que
bf{i} es menor que cero, pero mayor que cualquier número negativo (un sitio donde obviamente no hay números), además debemos de suponer que por el hecho de ser mayor que cualquier negativo, aunque al tiempo sea menor que cero, no hay que cambiar el signo comparador al multiplicar por él a los dos lados de una comparación. Por otro lado,
-bf{i} = -1*bf{i}
, será mayor que cero y al mismo tiempo menor que cualquier número positivo, además debemos de suponer que por el hecho de ser menor que cualquier positivo, aunque al tiempo sea mayor que cero, hay que cambiar el signo comparador al multiplicar por él a los dos lados de una comparación. Bien, tenemos por un lado estos dos número imaginarios colocados ahí donde no debería de haber números, además tenemos que
-bf{i} > bf{i}
, y luego está el tema de manejar los comparadores
<
y
>
; con todas estas locuras que harían vomitar a un matemático, no se dan paradojas con las comparaciones entre ellos, el cero, y el resto de números...vale, ahora colocad el resto de números ¿dónde va, por ejemplo
3 + 4bf{i}
?, bien, podemos tomar el orden lexicográfico, y los números enteros como dependientes lineales de los complejos (por ejemplo
2 = -2*bf{i}^2
;  si conseguís rellenar la recta real sin que os reviente la puta cabeza, me avisáis, mientras tanto, al plano complejo.

Infinito

Antes os he comentado que os daría un ejemplo de encuentro en el infinito, lo doy ahora rápidamente y no me distraigo más. Sería con dos coches

1.5 Dos rectas paralelas se cortan en el infinito.

1.5 Dos rectas paralelas se cortan en el infinito.

como antes, solo que van a la misma velocidad; coche 1 va a

50 km/h
, coche 2, que va delante, va a
50 Km/h
, distancia entre ellos,
100 Km
ecuación del primer coche
x_1=v_1* t
, del segundo
x_2=v_2* t + x_0 igualamos para saber en qué punto se encuentran
v_1* t = v_2* t + x_0, despejamos el tiempo
t = frac{x_0}{v_2-v_1}, como
v_2=v_1
, queda
t = frac{x_0}{0}
, es decir infinito; van a la misma velocidad, misma distancia todo el rato, dos rectas paralelas según vemos en 1.5

Seguimos con el problema

Volvamos al estudiante y al autobús, recuperemos nuestra ecuación inicial, donde habíamos despejado el tiempo para nuestro estudiante constante, y  autobús acelerado.

t=frac{v_e}{a}pm frac{sqrt{v_e^{2}-2ax_o}}{a}

Fijaros dentro de la raíz cuadrada: si resulta que

v_e^{2}-2ax_o>0
, será positivo, y por lo tanto podemos decir que se encontrarán, pero si
v_e^{2}-2ax_o<0
la solución será compleja y no se encontrarán, o al menos, nosotros, en nuestra infinita ignorancia y estupidez, no veremos que lleguen a coincidir de ninguna manera aunque las mates se empeñen en darnos una solución; el resultado complejo lo representaríamos así (fijaros que cambio los signos de dentro de la raíz, para sacar el número
bf{i}:

t=frac{v_e}{a}pm frac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i}

En el algo flojete, tendiendo en cuenta sus otros libros, "An Imaginary Tale" de Paul Nahin, aparece este problema que estamos tratando. En él, Nahin demuestra como el primer sumando de la ecuación del tiempo, la parte real, es el tiempo en el que estudiante y autobús estarán lo más cerca posible,

t=frac{v_e}{a}
; no voy a repetir la demostración aquí, pero es muy sencillita; imagínate que corres detrás del autobús, si no lo vas a alcanzar, el momento en el que más cerca vas a estar, es el momento en que los dos llevéis la misma velocidad, es el momento en que el autobús, acelerando, coja tu velocidad; cuidado porque esto no significa que cuando lo cojas, necesariamente vais a llevar la misma velocidad, puedes trincarlo mucho antes de que coja tu velocidad dependiendo de la distancia inicial, es solamente en el caso de que no vayas a alcanzarlo, la mínima distancia se dará en el tiempo
t=frac{v_e}{a}, y cuando llevéis la misma velocidad.

El libro, sobre la parte imaginaria, no aclara nada, solo que nos servirá para saber qué valores son necesarias para que se encuentren...nada más; pero aquí estamos nosotros para resolver ese entuerto.

Por muy mal enfocado que esté un problema de física, las matemáticas siempre ofrecen pistas, cualquier solución absurda nos está diciendo algo, y éste no es una excepción. Nuestra misión será averiguar, físicamente (siempre que digo "físicamente" me acuerdo de chiquito de la calzada "¡¡físcamente, sexualmente!!"), cómo podríamos explicar ese tiempo imaginario, ¿nos están diciendo las matemáticas que se podrían encontrar desde la perspectiva de otra dimensión? , ¿tal vez se encontrarán si se tuerce el plano?, ¿y si lo que nos está diciendo es que el movimiento del autobús y estudiante ha de ser en círculos para encontrarse?,  ¿en espiral, tal vez?, ¿que pueden saltar de un sitio a otro como ocurre en el juego del pac-man donde desapareciendo por la derecha se reaparece por la izquierda? ¿se trata solo de un desfase de tiempos o espacios?...

Pues hala, a mover las neuronas, que es gratis.

 

Una Solución

Entre otras, hay  dos tipos de soluciones significativas, la solución Pac-Man, y la solución Desincronización del reloj o desfase. Voy a tratar solo la Pac-man, pues la otra, como estamos con objetos materiales grandes (no tienen carácter ondulatorio), es más difícil de dilucidar y no me ha dado tiempo a desarrollarla (por supuesto los comentarios están abiertos para cualquier solución o corrección ).

Solución Tipo Pac-man

Habéis jugado al comecocos o Pac-man, ¿verdad? cuando llegas al límite derecho, apareces por arte de magia por la izquierda; se trata de un cilindro plano.
Suponed que el autobús y el estudiante estuvieran girando en una rotonda, obviamente se alcanzarían en algún momento, lo único es que una rotonda implica aceleración y velocidades angulares, cosa que no es este caso, así que a la fuerza ha de ser un camino rectilíneo, por ello una solución tipo Pac-Man es ideal, pero ¿está ese tiempo complejo de nuestro resultado, diciéndonos que es así como podrían encontrarse?, la respuesta es sí, tal como demostraré ahora. Hemos forzado  las ecuaciones a igualarse, así que las mates han tenido que apañar la situación para que ello ocurriera.

Antes vamos a aclarar un truquillo matemático que necesitaremos. Partamos de una situación en que el autobús está parado en

x=0m
y
t=0s
. Queremos saber donde estará en
t=7s
, así que aplicamos
x=frac{1}{2}at^2
(no hay ni espacio inicial, que es cero, ni velocidad inicial, que es cero), esto es
x= frac{49}{2}a
. Ahora bien, como
7=4+3
también podríamos haberlo aplicado por separado, es decir, si
t= 4 + 3 s
, podemos ver donde estará primero en
4s
y después en
3s
, lo cual nos dará la misma solución que aplicando
7s
directamente, peeeeeero, debemos de tener en cuenta que después de aplicarle el primer sumando, el autobús ya no está en
x=0
y
t=0, y además ya llevará una velocidad, por lo tanto se hace así: aplicamos primero, por ejemplo,
4s, entonces
x=frac{1}{2}at^2 = frac{16}{2}a = 8a
, ok ahora el autobús está en
x_0=8a
,
t=4s
y ¿qué velocidad lleva? pues aplicamos la formulilla newtoniana para este caso donde
v_a=sqrt{2*x*a}
sustituimos
x con su posición actual y la velocidad es
v_a=sqrt{16a^2}=4a
. Por lo tanto, la ecuación ahora en
x_0=8a y
t=4s será
x=frac{1}{2}at^2 + t*v_a + x_0
, aplicamos los
3s
x=frac{9}{2}a + 12a + 8a = frac{49}{2}a
Lo mismito que aplicando directamente
7s

Al trapo.

Tenemos un tiempo en que el estudiante y autobús estarán juntos, con unos datos donde esto no ocurre en la realidad, donde vemos al estudiante  de físicas correr detrás, exhausto hasta que no puede más, pensando que esto no le ocurrirá cuando tenga su propio coche y  gane el premio Nobel de física, aunque todos sabemos que finalmente, como todo físico,  si no se dedica a la enseñanza, acabará en la informática o ayudando a su padre en la ferretería... y sin coche. Por lo tanto:

t=frac{v_e}{a}pm frac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i} (donde
v_e es la velocidad del estudiante,
a la aceleración,
x espacio recorrido, e
bf{i} la variable compleja.

Veamos a donde lleva este tiempo complejo al autobús; empezamos con el autobús porque tiene el tiempo al cuadrado, y así, nos va a ser más sencillo librarnos de los valores imaginarios; como hemos visto en el ejemplo de arriba, podemos aplicar el tiempo en sumandos,  así que primero la parte imaginaria:

Parte imaginaria en el autobús

Si con tanta cháchara aun os acordáis del ejercicio, el autobús partía de

t=0s pero de una distancia
x_0
del estudiante (el estudiante era nuestro centro de coordenadas), y lleva una velocidad de partida nula, por lo tanto
x=frac{1}{2}at^2 + x_0
, vamos a sustituir el tiempo por la parte compleja con la que queremos empezar
t=frac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i}
, esto es
x=frac{1}{2}a(frac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i})^2 + x_0
, acordaros que
(bf{i})^2 = -1
y que el
pm
queda evaporado por el cuadrado, por lo que al final nos queda  
x=frac{v_e^{2}}{2a}
.

Fijaros que el valor negativo se ha evaporado con el cuadrado, pero eso no implica que desaparece sin más, si ponemos un tiempo negativo, y la aceleración es positiva, a la fuerza el autobús llevará una velocidad negativa inicial, porque el autobús tiene que ir hacia atrás con un tiempo negativo, de lo contrario estaremos fallando con el significado físico, pero para no hacer esto más largo, vamos a investigar con el resultado positivo solamente.

De la misma forma, si el tiempo es complejo, como es el caso, deberíamos de tener una velocidad compleja para que, igual que con el tiempo negativo, ocurra lo que tenga que ocurrir aunque se evapore en el cuadrado, pero lo que nosotros tenemos que averiguar es cómo deberían de ser las cosas en un espacio real, por lo tanto vamos a suponer que el autobús sigue hacia delante de forma "real", es decir, me explico mejor,  ¿dónde está este sitio

x=frac{v_e^{2}}{2a} con respecto a
x_0, que es donde partía el autobús? Antes hemos visto que se obtiene una solución compleja cuando
v_e^{2}-2ax_o<0 es decir, si
v_e^{2}<2ax_o
o sea, pasando la aceleración y el dos al otro lado de la inecuación, cuando
frac{v_e^{2}}{2a}<x_o
. Como veis el autobús se ha ido para atrás, mirad la figura 1.6 ¿Pero cómo ha podido irse para atrás si llevaba una aceleración positiva, y partía de parado? Pues porque nada más acelerar comienza a llevar una velocidad compleja
v_abf{i}
gracias a su nuevo motor ecológico "Complex Motor", el del eslogan "Nosotros tampoco sabemos, a donde cojones le va a llevar". Pero en vez de seguir arrastrando valores complejos, vamos a suponer que el autobús no ha ido hacia atrás, vamos suponer que ha ido hacia delante, solo que su posición
x_0 es el límite de la carretera Pac-Man. Es importante, no solo que la solución concuerde con esta suposición, si no que de alguna manera, sea única. Si suponemos que
x=x_0
y
x=0 están unidos, de entrada, estudiante y autobús han partido del mismo sitio..demasiado fácil ¿no?, pero aunque tendríamos el primer contacto nada más empezar, falta el segundo, y demostrar que estamos en lo cierto (todo esto, al loro, con la solución positiva, luego quedaría la negativa, que no la voy a tratar).

1.6 La carretera tiene una longitud de x0; todo lo que llega al límite derecho, aparece por la izquierda. El valor (v^2)/(2a) siempre será menor que x0, no en cambio (v^2)/(a) que puede ser mayor o menor. Nótese como el este valor en verde está quedaría fuera, pero tiene su posición también dentro.

1.6 La carretera tiene una longitud de x0; todo lo que llega al límite derecho, aparece por la izquierda. El valor (v^2)/(2a) siempre será menor que x0, no en cambio (v^2)/(a) que puede ser mayor o menor. Nótese como este valor en verde quedaría fuera, pero tiene su posición también dentro.

El autobús, se encuentra ahora en

x=frac{v_e^{2}}{2a}, y gracias a que ha ido tranquilamente hacia adelante como el comecocos, ahora lleva una velocidad de
v_a=sqrt{2*x*a} = v_a=sqrt{2*frac{v_e^{2}}{2a}*a} = v_e
, efectivamente, lleva la misma velocidad que el estudiante en ese momento...mmmmmm, esa es la velocidad que llevarían si estuvieran en el tiempo tal que su distancia fuera mínima, y hemos dicho que eso ocurriría si no se van a juntar, pero en este caso lo que ocurre es que es el autobús el que está detrás del estudiante; mientras el estudiante salía a su velocidad
v_e, el autobús ha ido ganando velocidad poco a poco ¿donde está ahora el estudiante?, eso lo calcularemos después, ahora seguiremos con el autobús.

La distancia y velocidad a la que está el autobús, es la misma como si partiendo de

x=0, hubiera pasado un tiempo
t=frac{v_e}{a}, que es justamente la parte real de la solución compleja; son equivalentes, solo que en un caso habría viajado "hacia atrás" gracias a una velocidad compleja y finalmente acabaría teniendo dos encuentros complejos junto al acomplejado estudiante, y en el caso del circuito Pac-Man de tamaño
x_0 tenemos dos encuentros reales, el inicio y... sigamos.

Parte real en el autobús

Es hora de aplicar el segundo tiempo, el real, que es

t=frac{v_e}{a}; estando el autobús en
x=frac{v_e^{2}}{2a} con velocidad
v_a= v_e
, entonces
x=frac{1}{2}at^2 + v_et + frac{v_e^{2}}{2a}
sustituimos 
x=frac{1}{2}a(frac{v_e}{a})^2 + v_e(frac{v_e}{a}) + frac{v_e^{2}}{2a} = frac{2v_e^2}{a}

Por lo tanto, en el tiempo complejo, aplicando Pac-Man, el autobús estará en

x=frac{2v_e^2}{a}
, ¿coincidirá con el estudiante como debería ser?

Antes de comprobarlo, tenemos que confirmar nuestra suposición.

¿Pac-Man?

¿Es

x=frac{2v_e^2}{a} mayor o menor que
x_0? Sabemos que
x_0>frac{v_e^{2}}{2a}
, pero no podemos decir nada respecto a este nuevo valor, de hecho
x_0 podría ser menor, pero también podría ser todo lo mayor que quisiera (ver 1.6) por lo tanto, para recorrer esa distancia, es posible que tuviera que efectuar varias pasadas completas al camino finito de
x_0, por lo tanto no sería descabellado decir que se encontrará en la posición
x=frac{2v_e^2}{a} - nx_0
, donde
n
es el número de pasadas completas que ha tenido que hacer...ahora bien, no vamos a colocar ese término Ad Hoc, no, no señor, nos lo tendrá que confirmar las matemáticas.

Para ello cojamos el tiempo complejo completo

t=frac{v_e}{a}pm frac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i}, y se lo vamos a echar al autobús a cascoporro, en vez de hacerlo como antes con la parte compleja primero y la parte real después, lo vamos a hacer a lo bruto:

De nuevo el autobús en la "pole position" inicial

x=frac{1}{2}at^2 + x_0, introducimos el tiempo
x=frac{1}{2}a(frac{v_e}{a}pm frac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i})^2 + x_0 = frac{v_e^2}{a}pm v_efrac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i}

Este es el resultado que obtuvimos suponiendo Pac-Man:

x=frac{2v_e^2}{a}, y éste el resultado tal cual:
x= frac{v_e^2}{a}pm v_efrac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i}
, los dos NO son iguales porque uno se tomó con una suposición que buscaba eliminar los términos complejos, y el otro no,  peeeeeero vamos a hacerlos equivalentes para verificar nuestra hipótesis:

frac{2v_e^2}{a} equiv frac{v_e^2}{a}pm v_efrac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i}

Ahora la loro, dejamos la raíz cuadrada sola a un lado, pasando a la izquierda el cociente de la velocidad al cuadrado partido la aceleración:

frac{2v_e^2}{a} -frac{v_e^2}{a} equiv pm v_efrac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i}
entonces

frac{v_e^2}{a} equiv pm v_efrac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i}
, a esta equivalencia la llamaremos equivalenciua principal Pac-Man, ¿por qué?, por lo siguiente

Elevamos al cuadrado a los dos lados:

frac{v_e^4}{a^2} equiv v_e^2frac{-2ax_o+v_e^{2}}{a^2}
, multiplicamos los dos lados por
a y dividimos por
v^2

frac{v_e^2}{a} equiv frac{v_e^{2}}{a} - 2x_o
, ahora multiplicamos por dos a los dos lados:

frac{2v_e^2}{a} equiv frac{2v_e^{2}}{a} - 4x_o

y vualá...¿a que os suena esto?, la parte derecha de la equivalencia es el resultado final, la distancia final del autobús con el Ad Hoc:

x=frac{2v_e^2}{a} - nx_0, solo que con
n=4
, es decir, tenemos pues que
4x_0 equiv 0
lo cual es cierto, un número entero, por la distancia de nuestra carretera Pac-Man equivale a estar de nuevo al principio. Fijaros que si en vez de un
4
hubiera sido una variable cualquiera, o un número no entero, entonces se habría derrumbado la hipótesis de la carretera Pac-Man como posible solución, pero no ha sido así (música de New Order).

¿A de ser

n=4?, no, no tiene porqué ser un
4, este número entero nos ha confirmado la hipótesis, pero
n dependerá de los distintos valores que tenga las velocidades y distancias iniciales, además de que no necesariamente deberá de ser entero. De todas formas, este
4 significará algo, si alguien lo sabe, los comentarios están abiertos.

Pues bien, con esta alegría y alboroto, solo nos queda ver dónde acaba el estudiante, y comprobar si efectivamente es en

x=frac{2v_e^2}{a} - nx_0, lo cual sería ya la bomba.

Parte imaginaria en el estudiante

Apliquemos al estudiante la parte compleja de nuestro tiempo en discusión. El estudiante parte de cero a una velocidad constante

x=v_et
, para

la parte imaginaria de

t=frac{v_e}{a}pm frac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i} que es
t=pm frac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i}
, tenemos
x=pm v_efrac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i}
, estamos ante un lugar complejo, pero como queremos aplicarle la suposición Pac_Man tendremos que usar nuestra súper equivalencia principal Pac-Man
frac{v_e^2}{a} equiv pm v_efrac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i} de forma que:

x=pm v_efrac{sqrt{2ax_o-v_e^{2}}}{a}bf{i} equiv frac{v_e^2}{a}
, de hecho voy a sustituir el signo
equiv
por un
=
, pues al estudiante vamos a aplicarle la misma suposición, por lo tanto la distancia recorrida será
x=frac{v_e^2}{a}

Luego en el momento en que el autobús está en

x_a=frac{2v_e^2}{a}
, el estudiante está en
x_e=frac{v_e^2}{a}

Parte real en el estudiante

Pero aún tenemos que aplicarle al estudiante la parte real del tiempo.

De nuevo la ecuación para el estudiante

x=v_et + frac{v_e^2}{a}
, aplicamos el tiempo real
t=frac{v_e}{a} y obtenemos
x=frac{v_e^2}{a} + frac{v_e^2}{a} = frac{2v_e^2}{a}

Añadimos el componente ad hoc para indicar que ha podido dar más de una pasada a toda la carretera antes de que el autobús le pillara por detrás:

x=frac{2v_e^2}{a} - nx_0, y conseguido, el autobús y estudiante se encuentran efectivamente en un sitio real. (Música de violines a lo Juan Tamariz, y aplausos)

 

Pues nada, si habéis llegado hasta aquí, os lo agradezco. Cualquier cosa, por favor, dejad un comentario.

No os creáis nada, no os rindáis nunca, y que tengáis felices sueños metamatemáticos (Domingo por la mañana de  finales de los ochenta, discoteca Spook factory, a los mandos Fran Lenaers, el ángelus...)

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Nota A:

Los números complejos o imaginarios son aquellos del tipo

x + ybf{i}
donde
x e
y son dos números cualesquiera reales, e
bf{i} es
sqrt{-1}
(a la
x se le llama parte real, y a la
ybf{i}
parte imaginaria) ¿Por qué se escriben de esta guisa y qué utilidad tienen?

1.7 Representación de un número complejo en el plano complejo bidimensional. Muy bonito y tal, pero no deja de ser un apaño euclidiano

1.7 Representación de un número complejo en el plano complejo bidimensional. Muy bonito y tal, pero no deja de ser un apaño euclidiano

Al principio a las ecuaciones de este estilo

x^2 - 1 = 0
donde al despejar la
x se obtenía
x=sqrt{-1}
no se les hacía ni puñetero caso, pues no existe ningún número que multiplicado por sí mismo de
-1
, pero hete aquí que para resolver ecuaciones cúbicas, arrastrar
sqrt{-1} de un lado a otro en su resolución hacía que acabara en ocasiones cancelándose y dando resultados reales. De esta forma, si se obtenía una raíz negativa de un número
a,se procedía (y procede) de este modo 
sqrt{-a}=sqrt{-1*a}=sqrt{a}sqrt{-1}=sqrt{a}bf{i}
. Y así se puede seguir los cálculos tomando
bf{i} como otro número cualquiera; y siendo su cuadrado igual a -1, con un poco de suerte, acababa obteniéndose un resultado puramente real.

Hoy por hoy existe toda una geometría, análisis y álgebra bien consistente al respecto de estos números, de hecho, el teorema fundamental del álgebra nos dice que añadiendo este número a los reales, todo queda en casa, es decir, que todo polinomio va a tener siempre un resultado real o imaginario, ya no más sorpresas.

Los números complejos se puede representar geométricamente en el plano complejo, tal como veis en el diagrama 1.7, de forma que 

x + ybf{i} puede representarse como
r*cosvarphi + r*bf{i}senvarphi
, o también como
r*e^{bf{i}varphi}
donde r es el módulo y
varphi
el argumento (ángulo que forma la recta que une el centro del plano complejo con el punto que representa).

En ingeniería son importantes para ahorrarse trabajo trigonométrico (por ejemplo, fasores en circuitos eléctricos) , si bien, no representan en sí mismo ningún concepto de la naturaleza; en programación de juegos se usan los cuaterniones (una extensión de los complejos) para las rotaciones con traslación, y en mecánica cuántica los números complejos ya son no solo un apoyo, si no una realidad de nuestra naturaleza, una realidad a la que solo podemos llegar mediante el cálculo (muy recomendable http://motls.blogspot.com.es/2010/08/why-complex-numbers-are-fundamental-in.html , principalmente la discusión de los comentarios).

Existe también toda una estructura más general llamada números Hipercomplejos. Un número hipercomplejo es aquel número

E
tal que
E^2=x +yE
, donde
x e
y son reales. Por ejemplo tenemos los números unitarios
x+yh
, donde
h^2=1,  los duales
x+yepsilon
, donde
epsilon^2=0
(para este tema os recomiendo al gran Yaglom "Números complejos y sus aplicaciones a la geometría" de editorial Urss).