lunes, 3 de octubre de 2016

El atractivo de Lorenz #Cuentos Cuánticos #noticias


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Una vez realizada la petición vamos a entrar en el tema.  Hoy, da igual el día que lo estés leyendo, nos hemos levantado caóticos y queremos dedicarle una entrada a Edward Norton Lorenz y a su atractor.

Edward Norton Lorenz

Edward Norton Lorenz

Este señor, nieto científico de Poincaré, fue un matemático interesado en la meteorología que desarrolló la mayor parte de su carrera en el MIT.  Podemos decir que fue Lorenz el que puso encima de la mesa la teoría del caos en un artículo de 1963:

Deterministic nonperiodic flow

Este artículo fue publicado en la revista Journal of the atmospheric sciences y fue olvidado durante casi una década.  Sin embargo, en la actualidad es uno de los artículos científicos con más citas de la historia.  Su hora tardó en llegar pero cuando los matemáticos y físicos lo encontraron se encontraron con un regalo de los dioses.

Es posible afirmar que en ese artículo están todos los ingredientes para el desarrollo de la teoría del caos determinista.  Así que no está mal que le dediquemos un rato a ver qué dijo este señor.

Atmósfera que estás en los cielos

Animación generada por los datos del satélite Meteosat

Animación generada por los datos del satélite Meteosat

Si uno quiere predecir el tiempo que hará mañana, pasado mañana o dentro de una semana lo único que tiene que hacer es discriminar las variables esenciales para ello y las ecuaciones que verifican estas variables.

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Sí, el problema es endiabladamente complicado.  Tenemos que tener en cuenta demasiados factores, incidencia de la energía procedente del Sol, la respuesta de los suelos, las corrientes marina, mareas, etc.  Y, por supuesto, la atmósfera, esa capita de aire que nos rodea y nos cobija.

La atmósfera es un fluido, formada fundamentalmente por gases y tal, y la dinámica de fluidos es unos de los campos de la física en los que podemos encontrar las más aterradoras ecuaciones a las que uno puede soñar enfrentarse.  El trabajo de Lorenz consistía en hacer modelos más simples de la atmósfera con los que acercarse a su comportamiento real.

Si tenéis el capricho de conocer el camino que condujo a Lorenz hasta su trabajo de 1963 os dejo un par de referencias previas que contextualizan su trabajo:

Maximum simplification of the dynamics equations (1960)

The statistical predictions of solutiones of the dynamics equations (1962)

Ahí tenéis el trabajo que fue haciendo para simplificar las ecuaciones que gobiernan la dinámica atmosférica.

Lo que Lorenz sabía

El bueno de Lorenz tenia entre manos unas ecuaciones que relacionaban ciertas variables con su variación puntual en el tiempo y el espacio, derivadas respecto a las coordenadas espaciales y el tiempo.  Por lo tanto tenía que manejarse con la teoría de las ecuaciones diferenciales.  Este tipo de ecuaciones son las que dictaminan la dinámica del sistema que estemos modelando con ellas y son el pan nuestro de cada día en cada rincón de la física.

Lo que ya se sabía es que la dinámica de un sistema, regido por una ecuación o sistema de ecuaciones diferenciales, tenía un puñado de opciones para dictaminar la evolución de un sistema.  Y esto se puede estimar de forma cualitativa aún sin conocer la solución exacta de las ecuaciones implicada, es lo que se conoce como un análisis cualitativo de las ecuaciones diferenciales.

Afortunadamente, es una cuestión bastante visual y uno puede, renunciando a parte del formalismo matemático, hacerse una idea aproximada de los comportamientos cualitativos que esperamos encontrar en la evolución dinámica de un sistema dictaminada por ecuaciones diferenciales.

Vamos a empezar por un péndulo que oscila de forma armónica, es decir, una vez que empieza su movimiento siempre lo sigue.  Esto, evidentemente, viene regido por una ecuación diferencial que me da pereza escribir pero que seguro que la podéis encontrar en algún sitio.  Si hay mucho interés podéis buscar aquí.

El péndulo:

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El péndulo tiene una longitud fija y siempre oscila entre dos puntos extremos marcados por la amplitud de la oscilación.  Podríamos dar coordenadas espaciales, dos de ellas ya que el péndulo se mueve en un plano, y empezar a sacar ecuaciones.  Sin embargo, a poco que lo pienses el péndulo solo tiene una variable de interés, el ángulo que hace respecto a la vertical en cada instante.

Otro elemento importante es la velocidad en cada instante de la oscilación, la velocidad en este caso es la derivada (variación instantánea) de la variable de interés respecto al tiempo.  Tampoco hay que ser una fiera de la física para deducir los siguientes hechos:

1.-  En los extremos de la oscilación la velocidad del péndulo es nula.  De no ser así seguiría oscilando un poco más.

2.-  En los extremos se frena y tiene una velocidad nula ras lo cual empieza a acelerar en sentido contrario.  Por ello sabemos que cada vez que el oscilador llega a sus extremos sus velocidades invierten su sentido y alcanza la velocidad máxima justo cuando pasa por la posición de equilibrio.  Tras pasar por ella, empieza a frenar hasta detenerse en el otro extremo y vuelta a empezar.

Todo esto se ve muy claro en un diagrama en el que pongamos en un eje la variable de interés, el ángulo con la vertical en este caso, y su derivada respecto al tiempo, su velocidad.  A eso se le denomina un espacio de fases.  ¡Ojo!, el espacio de fases no es un espacio "real" donde pasan las cosas sino un espacio donde podemos ver y dictaminar el comportamiento dinámico de un sistema.

Este hilván de ideas que hemos realizado se aplica a un péndulo o a cualquier cosa que oscile de forma armónica.  Por ejemplo un muelle que oscila sin rozamiento.  El muelle se estira y se deja libre y comenzará un vaivén periódico alcanzando puntos extremos.  En este caso la variable de interés es la distancia desde el punto de equilibrio hasta la posición que ocupe en cada instante.  De esa variable podremos conocer su velocidad tomando su derivada respecto del tiempo.  El resto de razonamientos expuestos para el comportamiento del péndulo aplican de forma exacta al muelle.  Las cosas de la física.

Veamos como es el espacio de fases para un muelle ideal que realiza un vaivén armónico.  Por un lado tendremos el movimiento real de oscilación del muelle y por otro su comportamiento en el espacio de fases donde tenemos un eje para la variable de interés y otro para su velocidad.  La cosa es tal que así:

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¿A que está claro?

Fijaos en que simplemente viendo el espacio de fases y la curva, llamada órbita, que describe el sistema, podemos inferir su comporamiento.  Sabemos que se mueve solo en una coordenada indicada en la figura por "posición", que alcanza un mínimo y un máximo en la posición.  Además sabemos que su velocidad se hace cero e invierte el signo en dichos puntos.  El valor más alto de la velocidad se alcanza en el punto medio entre las posiciones extremas.

Si ahora nos dan un espacio de fases de este tipo con este tipo de órbita sabremos que sea lo que sea que represente verificará un comportamiento de oscilanción armónica.  Bastante bonito para mi gusto.

Esa órbita es la única opción para ese oscilador si no es perturbado o cambian sus condiciones.  Ese tipo de órbita recibe el nombre de órbita estable.

Supongamos ahora que nuestro oscilador sufre rozamiento. Eso no es más que añadir un término a la ecuación diferencial que dictamina la evolución del oscilador armónico para informarle de que hay rozamiento presente. Pero, ¿cómo esperamos que evolucione ese sistema con esas condiciones?   Piénsalo y mira luego la representación del espacio de fases para el mismo:

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Ahora nuestro péndulo, nuestro muelle, o lo que sea, se irá frenando, su velocidad será menor y por lo tanto su amplitud disminuirá hasta que su evolución "muera" en un punto del que ya no saldrá.  Hemos encontrado un punto de equilibrio.

Estas dos situaciones son fácilmente identificables en un espacio de fases, que insistimos no es un espacio real, las curvas no son trayectorias reales pero nos informan del comportamiento dinámico de un sistema a las mil maravillas.  Y sin resolver ninguna ecuación.

Queda otra situación, el ciclo límite, este comportamiento se presenta cuando el sistema evoluciona por el espacio de fases, no se encuentra con un punto de equilibrio ni con una órbita estable, pero su la órbita que describe se va acercando más y más a una determinada curva descrita en el espacio de fases.

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En esta imagen, el espacio de fases del sistema está representado a la derecha y se muestran dos situaciones.

Todo esto lo sabía Lorenz, y muchas más cosas, pero lo que también sabía es que el comportamiento de la atmósfera no puede seguir ninguno de estos comportamientos.  Si la dinámica atmosférica tuviera un punto de equilibrio (y ya lo hubiera alcanzado) pues no haría falta hacer predicciones meteorológicas. El tema se resumiría en:

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Lo mismo pasaría con encontrar una órbita estable o un ciclo límite, la cosa de predecir el tiempo tendría poca gracia.

El caso es que…

La dinámica atmosférica es un sin dios de mucho cuidado.  Para empezar el número de variables no es una como en los ejemplos anteriores y sus ecuaciones son complicadas a simple vista.  De hecho, una de las fundamentales, la ecuación de Navier-Stokes, aún hoy presenta problemas abiertos para las mentes matemáticas más dotadas.

Así que no corto ni perezoso, Lorenz se propuso simplificar al máximo las ecuaciones de forma que pudiera determinar las condiciones mínimas con las que tener comportamientos diferentes a los anteriormente presentados.  Para ello simplificó el modelo de atmósfera al máximo y se centró en el concepto de convección por temperatura.  Lo que consiguió fue un conjunto de tres ecuaciones con tres variables donde las derivadas en el tiempo de cada variable dependían de combinaciones de dichas variables y algunos parámetros numéricos.

¿Por qué no eligió simplificar aún más a dos ecuaciones con dos variables?  Porque entonces te topas con un teorema de un tal Poincaré y un tal Bendixson que te dice que el comportamiento más complicado que puedes tener en esa situación es el de órbita estable o ciclo límite.  Y nadie en su sano juicio se enfrentaría a un teorema tan serio.

La atmósfera de Lorenz

El modelo que diseñó Lorenz se puede explicar con facilidad.  El consideró que la atmósfera era un fluido, un gas, entre dos superficies.  La superficie inferior es caliente y la superior fría.  Por tanto se genera un perfil de temperaturas en la atmósfera desde más temperatura, la capa de atmósfera en contacto con la superficie inferior, hasta menos temperatura, la capa de atmósfera en contacto con la capa superior.

En esa situación aparece el fenómeno de Rayleigh-Bénard, es decir, se generan celdas de convección.  El fluido caliente asciende y el frío desciende formando celdas.

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Lorenz redujo toda la información a tres variables:

1.-  x —   Que representa la intensidad del movimiento convectivo.

2.-  y —   Que representa la diferencia de temperatura horizontal en una celda de convección.

3.-  z — Representando lo que se aleja de la linealidad el perfil vertical de temperaturas del gas.

El valor significado de z se aprecia en la siguiente figura donde se ve que en los extremos el perfil de temperaturas deja de ser una línea recta.

linealidad

La variable z mide justamente cuánto se diferencia el comportamiento de la temperatura de la linealidad.  El efecto es dramático en el contacto con las superficies caliente y fría.

Con esas ideas en mente, Lorenz extrajo un sistema de ecuaciones muy simple:

lorenzeq

Donde σ, r y b son parámetros reales.

En realidad, Lorenz, partió de un modelo previo con doce variables y lo simplificó para llegar a esas bonitas y, en apariencia, benignas relaciones entre las variables.

 La anécdota

Voy a contar la anécdota que es difícil no encontrar en cualquier escrito sobre caos.

Una vez que tenía su modelo simplificado, que absolutamente tiene nada que ver con la atmósfera real, los quiso resolver y programó un ordenador de la época, una Royal McBee LGP-30, para tal tarea.

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Sacó una lista de números, valores para las x, y, z.  Pero como quería ver un resultado más amplio decidió que era buena idea tomar un valor de los obtenidos por la máquina, introducirlo como punto de partida y que siguiera ejecutando el programa a partir de él.  Dado que la máquina tardaba alrededor de 1 segundo para cada valor de cada dato decidió que en vez de darle seis decimales, que era como la máquina devolvía los resultados, le introduciría el dato elegido como punto de partida con solo tres decimales.  Total, es un cambio bastante nimio y el efecto sería despreciable.  Eso se basa en la experiencia que se tenía en física y matemáticas que cambiar ligeramente las condiciones iniciales de un problema hacía que la solución cambiara ligeramente también.  Puso a trabajar la máquina y se fue a tomar un café y a charlar con colegas.

Cuando volvió y empezó a ver los resultados se llevo una sorpresa que cambiaría su vida y abriría un nuevo campo de las matemáticas, con el permiso de Maxwell y Poincaré considerados padres del caos en un sentido laxo.  Los resultados, aunque al principio parecidos a los obtenidos con anterioridad, llegado un  momento no se parecían en nada.  Tras comprobar que la máquina funcionaba bien y que el programa no tenía errores (cosa nada agradable en aquella época, en esta tampoco) tuvo que aceptar que cambios pequeños en las condiciones iniciales generaban soluciones que transcurrido un intervalo de tiempo no se parecían en nada entre sí.  Había visto la sensibilidad a las condiciones iniciales.

Los datos que obtenía Lorenz se pueden ver en su artículo de 1963:

datos

Busquen por ahí y vean como se separan las soluciones (valores de x, y, z).

El atractor de Lorenz

Los puntos de equilibrio, órbitas estables y ciclos límite son atractores.  Eso significa que si uno perturba ligeramente el sistema que se comporta tal y como dictan esas situaciones la evolución los volverá a llevar a su punto de equilibrio, órbita estable o ciclo límite según corresponda en cada caso.  Quizás lo más simple sea pensarlo con el punto de equilibrio del oscilador con rozamiento.  Si este está parado en su posición o punto de equilibrio, si lo perturbo un poco, lo muevo ligeramente, no tardará mucho en llegar de nuevo a su punto deequilibrio.  Por eso decimos que tenemos un atractor, porque las distintas soluciones perturbadas del problema vuelven a la situación esperable.

Lo que vio Lorenz en sus tablas de números era un nuevo tipo de atractor, un atractor extraño.   Si dibujamos en un diagrama como se comportan las variables x, y, z, (eso no es un espacio de fases porque no vamos a representar las respectivas velocidades) veremos lo siguiente:

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Parecen unas alas de mariposa (guiño, guiño, codazo, codazo).

¿Es eso un atractor?  La respuesta es que se demuestra que da igual en que configuración de valores x, y , z comiences que al final siempre acabas en el atractor de Lorenz.  Es decir, tú eliges tres valores para x, y, z, respectivamente, los dejas evolucionar y al final su órbita en este diagrama está dentro de las alas de la mariposa.

Aquí un ejemplo con dos situaciones iniciales diferentes tomado de la Wiki:

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Las flechas esas indican la condición inicial, que son muy próximas, y el valor en la órbita para el mismo tiempo de evolución en los dos casos.

Lo que quiere decir eso es que ambas situaciones describen órbitas diferentes, no son la misma, pero su comportamiento se restringe ala misma región del espacio x, y, z.   Esto nos lleva a dos de las características más fuertes del caos.  Por un lado, variar las condiciones iniciales hace que cambie la órbita que describe el sistema en el espacio en el que lo representamos.  Dos condiciones iniciales muy próximas dan lugar a órbitas muy diferentes.  Sin embargo, todas las órbitas se encuentran en la misma región del espacio donde representamos la evolución del sistema, y esa región es el atractor.

Pero si quieres ver la sensiblidad a las condiciones iniciales en pleno apogeo es mejor que mires el comportamiento de una única variable.  Eso se puede hacer con la tabla pero es mejor que lo hagamos con una gráfica donde ponemos el valor de la variable x de Lorenz en función del tiempo.

divergencex

En esa gráfica, se toma un valor x=0 y se obtiene el comportamiento dibujado en rojo y un valor x=0.001 y se obtiene el comportamiento dibujado en azul.  Al principio se superponen las dos soluciones pero tras un tiempo los comportamientos son totalmente diferentes.

¿Quieres hacerlo tú?  Pues sigue las instrucciones de esta entrada: Bienvenidos al caos. Ahí encontraras un ejemplo tan simple que lo puedes hacer con una calculadora.

Hay que decir que estos comportamientos solo se dan para un rango de valores de los parámetros de las ecuaciones de Lorenz.  En su trabajo tomó los valores σ=10, r=28, b=8/3.

Se puede hablar mucho de este atractor de Lorenz, de hecho hay libros enteros dedicados a él, pero es interesante remarcar que hasta 1999 no hubo una demostración de que este atractor es realmente un atractor.  Eso se probó en el artículo:

The Lorenz attractor exists — Su autor fue Warwick Tucker.

También se probó que la dimensión de este objeto no es 2 como parece indicar el dibujo sino que tiene una dimensión entre 2 y 3.  Las estimaciones indican que la dimensión de Hausdorff es de 2.06.  Es decir, el bicho ese es fractal y es algo, muy poco, más que una superficie. Para saber sobre dimensiones fractales pulsa aquí.

Y así descubrimos las maravillas del caos.  Es por este motivo que uno no puede hacer predicciones exactas a tiempo infinito sobre el tiempo que hará en tal o cual lugar.  Para ello tendríamos que conocer con total exactitud los valores iniciales de todas las variables involucradas y la resolución exacta de todas las ecuaciones necesarias.  Además tendríamos que conocer en todo instante cada perturbación del sistema, pero claro…

¿Podría el batir de alas de una mariposa en Brasil provocar un tornado en Texas?

Que fue el título de una conferencia impartida por Lorenz en 1972.

Así que con el caos hemos aprendido a que nuestras predicciones no son siempre válidas para cualquier sistema.  Pero bien es cierto que con mejores modelos y  con mejores datos podemos ampliar la ventana en la que nuestras predicciones son aceptables.  La teoría del caos no nos dice que no podemos predecir nada, lo que nos enseña es a predecir adecuadamente en cada caso.  Creo que es una gran lección, además de ser una locura matemática muy guapa.

Nos seguimos leyendo…

Y me vais votando a Los tres chanchitos (3chanchitos.es) para mejor podcasters del Bitácoras 2016.