miércoles, 16 de noviembre de 2016

"Paradoja" de los gemelos para gummies #Cuentos Cuánticos #noticias


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En el programa número 33 de Los 3 chanchitos hablamos entre otras cosas interesantes, (Alberto nos recomendó libros de novela negra japonesa y Clara nos hizo una pregunta de difícil respuesta), de relatividad especial. Aquí os dejo el programa por si gustáis de escucharlo:

Los 3 Chanchitos 33

Y en nuestro canal de YouTube pusimos un vídeo en el que se explica, empezando por lo muy básico y con muchos dibujos, eso que llaman la paradoja de los gemelos.

Queremos que esta entrada sirva como refuerzo al vídeo por si alguien quiere más detalles.  La idea es muy simple:  Tú puedes resolver la "paradoja" de los gemelos.

Longitudes y teorema de Pitágoras.  Las cosas del medir

Supongamos que queremos medir la longitud de un segmento como el indicado en la figura:

01

Bastaría tomar una regla y listo.  Pero si hiciéramos eso la entrada se acabaría demasiado pronto.  Así que vamos a liar un poco más el asunto.

Ese segmento seguro que lo podemos considerar como un lado de un cuadrado rectángulo, de hecho vamos a considerarlo que es el lado que está justo en frente del ángulo recto que forman los otros dos lados.

triangulorect

Los lados que forman el ángulo recto en este triángulo se denominan catetos, que son los segmentos rojo y azul en nuestro ejemplo.  El segmento verde, el opuesto al ángulo recto, se denomina hipotenusa.

Si conocemos, y ahora volveremos a eso, lo que miden los catetos podremos determinar lo que mide la hipotenusa sin más que echar mano del Teorema de Pitágoras.

pitagoras

Listo, la (el valor de la longitud) hipotenusa al cuadrado es la suma de los cuadrados de los catetos.

Pero ahora tendremos que decir cómo determinar la longitud de cada cateto.  Para ello vamos a emplear un sistema de coordenadas.  Tendremos un eje horizontal, el eje X, y un eje vertical, el eje Y, y las divisiones tendrán una determinada unidad de longitud, piensa en la que más te guste.

Supongamos que tenemos un segmento en el eje X que tiene uno de sus extremos en el origen de coordenadas:

segmhor

En ese caso es muy fácil determinar la longitud de dicho segmento ya que será simplemente el valor de la coordenada x del punto final menos el correspondiente valor de la coordenada x del punto inicial.

Si ahora movemos de forma paralela el segmento por el plano lo podremos llevar a cualquier punto del mismo y, como premio extra, sabremos que la longitud de dicho segmento no cambiará al trasladarlo de forma paralela.  Solo lo trasladamos, nada de estirarlo o contraerlo.

segmhorparal

Así que todos esos segmentos, traslados paralelos del segmento inicial en rojo, miden exactamente lo mismo.

De igual forma lo podemos hacer con un segmento en el eje Y.  Su longitud será la diferencia de valores de coordenada y entre el punto final e inicial, tomada en valor absoluto que se me olvidó decirlo, y si lo trasladamos paralelamente su longitud no cambiará.

segmver

segmverparal

¿Y esto para qué nos vale?  Nos vale porque siempre podremos poner el triángulo de antes en un sistema de coordenadas:

triangulocoord

Ahora solo tenemos que calcular lo que miden tanto el cateto 1 como el cateto 2 y aplicar Pitágoras para saber la longitud de la hipotenusa.  Más fácil imposible.  Si llamamos h a la hipotenusa, a un cateto y b al otro nos quedaría:

triangcoord3

Eso quiere decir que ahora podemos calcular la distancia desde cualquier punto a cualquier otro del plano con esa fórmula.  De hecho, para simplificar supondremos que calculamos la distancia siempre teniendo un punto del segmento que nos interese en el origen de coordenadas (esto no es esencial pero es importante para lo que sigue).  Si no está en esa situación tenemos la solución, lo trasladamos de forma paralela y tan amigos.

Pero es importante notar que la fórmula h²=a²+b² es una máquina de medir distancias en el plano.  Así que la vamos a llamar métrica.

Además de ponerle un nombre vamos a cambiar la notación, le vamos a poner motes a las letras de antes:

triangnotac

¿Todo bajo control?  Supongo que sí porque todavía no hemos hecho nada que no sea trastear con el teorema de Pitágoras.

Teniendo todo esto a nuestra disposición podremos hacernos un montón de preguntas. Por ejemplo, podemos preguntarnos lo siguiente:

¿Cuáles son los puntos del plano que equidistan una determinada cantidad del origen de coordenadas?

Supongamos que queremos saber cuáles son todos los puntos que están a distancia 2 (en las unidades en las que estemos trabajando) del origen de coordenadas.  Eso es fijar la distancia ds y por tanto fijar el valor de ds².  Si elegimos que ds=2 entonces ds²=4.  Lo que queremos saber es qué puntos del plano están a distancia cuatro del origen de coordenadas.  Dicho de otro modo, que valores de dx y de dy (que vendrán dados por los puntos que consideremos) son tales que la suma de sus cuadrados da como resultado 4.

Así que nos estamos enfrentando al siguiente problema:

ds²=cte

(cte)²=dx²+dy²

No sé si os suena esa expresión o la forma de plantear nuestra pregunta pero de todas formas lo voy a decir.  Eso no es más que una forma de representar una circunferencia en un plano, al fin y al cabo, la circunferencia se define como el lugar geométrico de puntos del plano que equidistan de uno fijo llamado centro.

Así que a nadie le puede sorprender que si vamos fijando el valor de ds² y representamos los puntos que están a esos valore fijos respecto del origen de coordenadas de nuestro sistema de referencia obtengamos esta figura:

equimet

Esto puede parecer un divertimento, lo es, pero además es útil.  Es útil porque ahora sabemos que todos los segmentos o vectores que tengan un extremo en el origen de coordenadas y el otro sobre la misma circunferencia que hemos representado tienen exactamente la misma longitud independientemente de su orientación respecto a los ejes.

equimet2

Podemos decir alto y claro que todos esos vectores tienen longitud (módulo) igual a 3.

Pero fíjate en la siguiente figura:

equimet3

¿Podemos usar esta construcción para determinar lo que mide ese vector? La respuesta es NO, NO, NO, NO.

Esta construcción está única y exclusivamente diseñada para medir distancias al punto que hemos elegido como centro de las circunferencias.  En este caso el origen de coordenadas.  Como ese vector no tiene ningún punto extremo en el origen de coordenadas esa construcción nos resulta inútil del todo.

Bueno, he exagerado un poco en el párrafo anterior, me he venido arriba, lo siento.  En realidad sí nos sirve porque, como ya habréis supuesto, solo hemos de hacer un traslado paralelo de ese vector y llevarlo a tener un punto de sus extremos en el origen de coordenadas.  Con esa simple acción podremos calcular la longitud o módulo del vector con nuestra circunferencias.

equimet4

Nuestro vector mide 2 (ds²=4).  Bonito, ¿eh?

Esto que estamos haciendo aquí es tratar de explicar la métrica euclídea en el plano de manera un tanto laxa.

Pero antes de acabar con esta sección vamos a hablar de triángulos.  Supongo que a nadie le sorprenderá esta imagen:

triangdes

Eso no es más que la desigualdad triangular que nos dice que la longitud de un lado de un triángulo siempre es menor (o igual) a la suma de las longitudes de los dos lados restantes.  Esa es una consecuencia directa (y más o menos inmediata) de la métrica que estamos usando, la métrica euclídea, nuestra métrica cotidiana.

Seamos traviesos

Ahora lo que nos apetece es toquetar un poco las mates.  Vamos a ser un poco traviesos y a ver qué sale.

Lo que vamos a hacer, porque sí, es cambiar un signo en nuestra métrica.  ¿Por qué? Porque podemos y porque queremos, no hay más.

minmet

Hemos sido traviesos, hemos cambiado el signo a uno de los términos de nuestra métrica y ahora tenemos que aceptar lo que ocurra.  No pasa nada, es solo un juego.

Lo primero que notamos es que en el caso anterior, ds²=dx²+dy², el valor de ds² siempre es positivo.  Está claro porque es suma de dos cuadrados y los cuadrados siempre son positivos en lo que a números reales concierne.

Pero ahora tenemos un signo menos entre manos, lo hemos puesto nosotros, así que habrá situaciones cuando el valor absoluto de dy sea mayor que el de dx que obtendremos valores ds² negativos.

Por supuesto, tendremos situaciones en las que ds² será positiva.

Y, ojo, tendremos situaciones en las que ds² sea exactamente igual a cero, cuando dy y dx sean iguales en valor absoluto.

Hemos de aprender a vivir con ello porque es consecuencia de ese signo menos que hemos puesto por gusto.

Lo que significa cada caso tendremos que estudiarlo con detenimiento y aceptarlo. Así es la matemática.  No nos obliga a cambiar pero si cambiamos nos obliga a aceptar.

Respondamos a la pregunta de:  ¿Cuáles son los puntos del plano que equidistan una determinada distancia del origen de coordenadas con nuestra nueva métrica?

Como antes lo que haremos será fijar el valor de ds² y ver qué puntos te darían tal valor al medir la distancia con la nueva métrica desde el punto origen del sistema de coordenadas hasta tales puntos.

Pero como hemos dicho tendremos tres casos y además sabemos, recordamos u os lo digo, que:

(cte)²=-dy²+dx²

Representa hipérbolas.

Veamos los caso entonces:

mink1

Si fijamos valores de ds² tales como -1, -4, -9,… (podéis poner cualquier número real, aquí uso enteros por comodidad) nos salen esas curvas.  Eso nos dice que los puntos de esas una de esas hipérbolas están a la misma distancia del origen de coordenadas.  Es decir, la hipérbola que corta en y=1 e y=-1 con cada rama son todos los puntos que están a distancia 1 del origen de coordenadas y que su ds²=1.

La que corta en y=2 e y=-2  son todos los puntos que están a distancia 2 del origen de coordenadas y cuyo ds²=-4. Y así sucesivamente.

Si, por contra, fijamos que el valor de ds² sea positivo lo que encontramos es lo siguiente:

mink2

Y la lectura es exactamente igual que en el caso anterior.

Pero notemos la diferencia.  Si ds² es negativo significa que las hipérbolas abrazan al eje Y, si es positivo, abrazan al eje X.  Así que el signo solo nos dice hacia dónde se abren las hipérbolas, si es negativo las ramas de las hipérbolas se abren hacia arriba y hacia abajo y si es positivo se abre hacia la derecha y hacia la izquierda.

Nos queda el caso en el que ds² es igual a cero:

mink3

En este caso obtenemos dos líneas rectas que se cruzan justamente en el origen de coordenadas.  Todos los puntos de esas rectas está a distancia nula del origen de coordenadas. Eso es lo que nuestra fórmula nos dice y eso es lo que nosotros aceptamos.

Las líneas están formando 45º respecto a los ejes de coordenadas porque estamos empleando las mismas unidades tanto en el eje X como en el eje Y.  Si empleamos unidades distintas, uno en metros y el otro en centímetros por ejemplo, el ángulo sería diferente.

Cuidado aquí, porque con la métrica anterior solo había un punto en el plano que estaba a distancia cero del origen de coordenadas.  Ese punto no es otro que el propio origen de coordenadas.  Pero con nuestra nueva métrica, hay infinitos puntos que están a distancia cero del origen de coordenadas y por tanto a distancia cero entre ellos mismos.  Es lo que tiene tocar las métricas con signo arriba signo abajo.

Una vez que hemos descrito todo esto podemos venirnos arriba y ponerlo todo junto:

mink4

Esa es la estructura de puntos equidistantes al origen de coordenadas empleando como forma de medir distancias el ds²=-dy²+dx².

Si tenemos vectores en el plano que tengan su punto origen en el origen de coordenadas podremos determinar sus distancias sin más que mirar a la rama de hipérbola que apuntan.  Además, sabiendo el signo sabremos si esos vectores están "más cerca" o "más lejos" del eje X o del eje Y.  Dicho de otra forma, si están hacia arriba y hacia abajo respecto de las líneas de ds²=0 o hacia la izquierda y la derecha.

Así que ahora podemos mirar estas figura y decir qué longitud tienen los vectores representados sin más que mirar a qué línea de equidistancia están apuntando:

dist2neg

dist3pos

distcero

Queda muy chulo en mi humilde opinión.

Llegados a este punto vamos a resolver un problema:  ¿Cuánto mide este segmento según la nueva métrica?

segmnulo

Al igual que antes, para poder usar esta construcción uno de los extremos del segmento ha de estar en el origen de coordenadas, si no no podemos usar esta herramienta.  Nos ponemos manos a la obra y hacemos un traslado paralelo:

segnulo2

Y ahí está, ese segmento mide exactamente 0.  Nuestra métrica mola, y el ejemplo ha sido elegido para que saliera así

🙂

 Para acabar vamos con una de triángulos.  Supongamos que dibujamos un triángulo y que empleamos nuestra métrica rara para medir las longitudes de sus lados:

triangmink1

Para medir el lado rojo contamos cuantas curvas de equidistancia cruza y en cual se para.  Al hacerlo nos sale que la longitud es 10 en las unidades que estemos trabajando.  Para el lado azul hacemos exactamente lo mismo y obtenemos 6 unidades de longitud.

El único problema viene de parte del lado verde ya que no tiene ningún extremo en el origen de coordenadas.  Tranquilidad, hacemos nuestro truco de trasladar paralelamente y podremos usar nuestras bonitas curvas:

triangmink2

¡OOOH!  El lado verde tiene su otro extremos en la curva que dice que la distancia es 1 (ds²=-1) respecto del origen de coordenadas.  Así que ese lado tiene un longitud de 1.

Pero un momento, el lado rojo tiene longitud 10, el azul 6 y el verde 1.  Y 10>6+1.

Pues sí, acabamos de encontrar una consecuencia más de usar esta nueva forma de medir, resulta que la desigualdad triangular se revierte, es decir, un lado del triángulo es mayor que la suma de los otros dos.  Así es nuestra métrica.

¿Y los gemelos?  Es verdad, no hemos hablado de gemelos, pero te diré que ya has resuelto el problema.

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Relatividad especial

La relatividad especial es una forma de entender el espaciotiempo. Solo eso.  Y por supuesto, solo eso tiene implicaciones en el comportamiento físico de las cosas que definimos en el espaciotiempo.  Por ejemplo, la velocidad de la luz es la misma independientemente de quién la mida o quién la emita. Por ejemplo, que no podemos distinguir entre un sistema en movimiento rectilíneo y uniforme y uno en reposo.  Esas cuestiones son relativas al punto de vista de un observador.

¿Qué entedemos por observador?

obs1

Un observador es un elemento que lleva incorporado un sistema de referencia y un reloj. Con ello puede identificar sucesos en el espaciotiempo indicando el tiempo que indica su reloj en el que ha acontecido el suceso y el punto en el espacio en el que que ha ocurrido.

En la imagen tenemos una observadora  y un observador.  Hemos elegido que la observadora esté en reposo frente a nosotros y el observador en movimiento rectilíneo y uniforme.  Sin embargo, el observador azul se puede considerar a sí mismo en reposo y que la observadora roja es la que se está moviendo hacia el otro sentido a velocidad constante y en línea recta.  Eso es cuestión de gustos, es un elemento relativo.

La física se desarrolla en 4 dimensiones pero nosotros vamos a hacer los diagramas siguientes usando solo dos, una será el tiempo y la otra la coordenada espacial x.  Ir a cuatro dimensiones solo implica que introducimos dos coordenadas espaciales más, la y y la z. Pero con dos nos sobra.

Dibujemos diagramas espaciotemporales

Supongamos que la observadora roja está ocupando un punto en el espacio y que está en reposo frente a nosotros.

obs2

Si está en reposo frente a nosotros ocupará el mismo punto del espacio en todo instante de tiempo.  Así que si vamos haciendo fotos en distintos instantes y las ordenamos en tiempos crecientes hacia arriba tendremos:

obs3

Asi, nuestra observadora está describiendo una línea en el espaciotiempo:

obs4

Es una línea vertical como era de esperar.

Ahora supongamos que describimos la situación en la que un observador se cruza con ella y se está moviendo a velocidad constante y en línea recta.  Haciendo lo mismo que antes encontraremos esto:

obs5

Vemos que sigue otra línea recta en el espaciotiempo pero con una determinada inclinación respecto a nuestra observadora roja.

Así, cuando vemos este diagrama espaciotemporal:

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Lo que describe son dos observadores, la línea roja representa a alguien en reposo y la verde a alguien en movimiento rectilíneo y uniforme.

Tanto Galileo como Einstein coinciden en que el reposo y el movimiento rectilíneo uniforme son estados de movimiento equivalentes.  Así que el observador verde se puede considerar en reposo y es la observadora la que se mueve con cierta velocidad relativa a él (en el sentido opuesto a la situación que hemos representado).  Por lo tanto estos dos diagramas son físicamente equivalentes:

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"Los relojes en movimiento van más lento" "En movimiento envejeces menos"

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Casi seguro que habéis escuchado, leído o visto esas afirmaciones y casi seguro que os han dicho que es consecuencia de la relatividad.  Claro que esas afirmaciones son totalmente antirrelativistas.

Si nos fijamos aquí:

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Y hacemos caso a esas afirmaciones, el reloj del observador verde irá más lento que el de la observadora roja.  Entonces, dado un conjunto de observadores solo hemos de saber a qué ritmo van sus relojes para determinar si están en movimiento, qué velocidad llevan y cuál de ellos está en reposo.  Pero si eso es posible, entonces hay un medio físico para discriminar entre distintos observadores que según los principios de relatividad han de ser equivalentes y no se pueden distinguir.  Mal asunto.

En realidad, lo que hay que decir y es muy importante decirlo así, es que el reloj del observador verde considerado por la observadora roja marca más lentamente los segundos.  Es decir, es una afirmación relativa.

Pero como supondréis, ya que estas situaciones son equivalentes:

obs7

 

El observador verde puede decir exactamente lo mismo.

¿Entonces quién restrasa o quién adelanta?  Todos o ninguno, es una cuestión relativa.  El problema es que para comparar relojes de distintos observadores estos han de estar en el mismo punto del espacio.  En esa situación podemos sincronizar los relojes de los observadores que coinciden.  Después lo único que podemos hacer es preguntar a cada observador cómo ve el paso del tiempo en los relojes de los otros observadores.  Lo que te dirá es que el suyo marca un ritmo normal de 1 segundo por segundo y todos lo que se muevan respecto a él lo harán más despacio, tardarán más en marcar un segundo respecto a su reloj.

Pero eso lo podemos hacer con todos y cada uno de los observadores.  Así que todos llevan razón, total, es una cuestión relativa.  En términos técnicos hay una simetría entre los observadores que se mueven unos respecto a otros en línea recta y velocidad constante.

Lo que no podemos decir es que unos envejecen más rápido que otros.  Para todos ellos sus relojes van a 1 segundo por segundo, como siempre, es su tiempo propio. Y además, no podremos nunca comparar de nuevo sus relojes ya que todos los observadores se mueven unos respecto a otros en movimiento rectilíneo a velocidad constante.

Así que… no, el movimiento no causa retardo en el envejecimiento por sí mismo y de manera absoluta.  Para ver ese efecto hemos de hacer coincidir dos veces a los observadores en dos puntos del espaciotiempo para poder comprobar o desmentir esa afirmación.  Ahí la cosa cambia.

Gemelos

Todos conocemos el tema de los gemelos. Tenemos dos gemelos, uno se monta en una nave que va a una velocidad cercana a la de la luz, se tira un tiempo viajando, se da la vuelta y regresa al encuentro de su hermano.  ¿Han envejecido lo mismo?

Cada uno de ellos podrá decir que el reloj del otro va más lento, es la cosa de la relatividad.  Por lo tanto tenemos varias opciones.  El que se ha quedado ha envejecido más.  El que se ha ido ha envejecido más.  Ambos envejecen igual.

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Evidentemente si uno se va y vuelve no ha podido llevar siempre la misma velocidad. Ha tenido que frenar, parar y volver a acelerar para llegar de nuevo a la Tierra.

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Pero para no meter aceleraciones que pueden confundir (hay quienes dicen que en relatividad especial no se puede lidiar con aceleraciones) vamos a hacer lo siguiente:

1.-  Vamos a considerar una observadora que se encuentra en reposo respecto a nosotros.

2.-  Esta observadora se cruza con un observador que va a una alta velocidad en línea recta y cuando se cruzan sincronizan sus relojes a tiempo cero.

3.-  El observador, después de un tiempo viajando se cruza con otra observadora que va también a muy alta velocidad, en línea recta y en sentido contrario, y entonces sincronizan los relojes al tiempo que marca el observador en ese instante, 10 años, 1000 o los que queráis.

4.- Cuando las dos observadoras se cruzan comparan sus relojes.

De esta forma nos evitamos las aceleraciones y estamos simulando el caso de los gemelos.

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El diagrama espaciotemporal sería una cosa así:

obs10

Ojo, los observadores implicados solo pueden sincronizar o comparar relojes cuando se cruzan.  Es ahí donde eso tiene sentido.  El resto del tiempo solo pueden hablar de sus percepciones relativas respecto del paso del tiempo de los otros.

Pero aquí hay que hacer caso a Minkowski que era un matemático, fue profesor de Einstein en la carrera, que le dio contenido geométrico a la relatividad especial.  Lo que hizo Minkowski fue decir que el espaciotiempo de la relatividad especial estaba formado por cuatro ejes, uno temporal y tres espaciales y que cada observador podría determinarlos.

obs11

 

Pero además, para que la relatividad especial funcione como se supone que tiene que hacerlo la forma de medir distancias en el espaciotiempo, en este contexto a esas distancias espaciotemporales se las denomina intervalos, la forma de medir ha de ser de este modo:

ds²=-dt²+dx²+dy²+dz²

Y ahí tenemos un bonito signo menos.

Si nos restringimos a dos dimensiones, tiempo y x espacial, tendremos que ds²=-dt²+dx².  Pero eso ya lo hemos trabajado:

obs12

Ahora solo tenemos que tener cuidado porque el eje vertical representa al tiempo medido por un observador que consideramos en reposo.  Por tanto, cruzar las líneas rojas, las que tiene un ds²<0, nos indica cuando hace tic los relojes de los observadores que hayan pasado por el origen de coordenadas.

Lo único que tenemos que hacer es poner la situación descrita en este contexto y contar los tiempos que transcurren para cada observador:

triangmink1

Ooooh, ahí tenemos un triángulo.

Entonces sabemos que para la observadora roja han pasado 10 tics de su reloj.  Para el observador azul han pasado 6 tics de su reloj y para la observadora verde han pasado… (Recordad que hay que trasladar paralelamente hasta el origen para que esto nos sirva)

Para la observadora verde ha pasado solo un tic en su reloj desde que se cruzó con el observador azul.  Así que el trayecto suma azul y verde ocupa 7 tics.  Y para la observadora roja han pasado 10.

Por tanto, para la observadora roja han transcurrido 10 tics desde que se cruza con el observador azul hasta que se cruza con la observadora verde.  Sin embargo, la suma total de tics entre esos observadores solo es de 7 tics.

Y por eso, el gemelo que se queda en la Tierra envejece más.  Aquí si tiene sentido esa frase.

Así que, el efecto de los gemelos es posible y la solución es fácil, es que la geometría del espaciotiempo es así. Cuestión de triángulos.

El amigo Olegario López Linares ha comentado en el vídeo de YouTube y ha puesto sobre la mesa un error que cometí al explicar esto.  Lo que dije está mal porque no precisé lo que quería decir. Afortunadamente el ejemplo que puse luego resolvía el problema y es lo que hemos explicado en esta entrada.

Nos seguimos leyendo…


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